对Qwen3 MAX的测试

Qwen 3 MAX 发布

Qwen 3 MAX 发布了，1T参数的庞然大物！
各种评测结果都非常强，因此忍不住想测试一下。

12个小球称重问题

之前有一天刷知乎，看到一个12小球称重问题，作者说如果能够自己独立解决这个问题才算有数学天赋，当时是出差途中，坐在高铁上想了一路，晚上到家躺床上又想了一会才解出来，看来本人有一点点数学天赋，但不多😅
问题是这样的：有12个小球，其中只有一个重量不同，但不知是轻一些还是重一些，如何用天平找出这个小球，并得知它轻一些还是重一些。
我想出的解答是：将小球标记为1~12，平均分为3组：第1组1,2,3,4；第2组5,6,7,8；第3组9,10,11,12；
第一次称重，第1组 VS 第2组
- 如果第1组=第2组，则异常球在第3组，第2次称重为 (9,10,11) VS (1,2,3)
  - 如果 (9,10,11)=(1,2,3)，则异常球为12，第3次称重用 1 VS 12即可知道12是轻一些还是重一些，完成任务。
  - 如果 (9,10,11)>(1,2,3)，则异常球在9,10,11中且重一些，第3次称重用 9 VS 10，谁重谁就是异常球且重一些，如果 9=10，则11是异常球且重一些，完成任务。这里发现一个关键点：如果剩3个小球且知道异常球轻一些还是重一些，那么一次称重就可以找到异常球。
- 如果第1组>第2组，则异常球可能在第1组中且重一些，也可能在第2组且轻一些。第2次称重采用 (1,2,3,5) VS (9,10,11,4)
  - 如果 (1,2,3,5)=(9,10,11,4)，则异常球在6,7,8中且轻一些，参考上面的关键点，再称一次就可以完成任务。
  - 如果 (1,2,3,5)>(9,10,11,4)，因为4在第1组只能是重球，5在第2组只能是轻球，因此异常球只能在 1,2,3 之中且重一些，参考上面的关键点，再称一次就可以完成任务。
  - 如果 (1,2,3,5)<(9,10,11,4)，因为 1,2,3只能是重球，因此异常球只能是 4 或 5，那么第3次用正常球 9 VS 4即可找到异常球且知道轻重，完成任务。
- 如果第1组<第2组，这个和第1组>第2组是对称的，同样**第2次称重采用 (1,2,3,5) VS (9,10,11,4)**即可。

Qwen3 MAX 的解答

我把问题抛给 Qwen3 MAX，以下是它的解答：

这是一个经典的“12球称重问题”，目标是用天平称三次，找出12个小球中唯一一个重量异常（不知偏重还是偏轻）的小球，并确定它是重了还是轻了。 ✅ 解题策略：分组 + 信息最大化 + 排除法我们将12个小球编号为：1, 2, 3, …, 12 🧩 第一次称重：左边：1, 2, 3, 4 右边：5, 6, 7, 8 情况一：平衡（=）→ 说明异常球在 9, 10, 11, 12 中第二次称重：左边：9, 10, 11 右边：1, 2, 3（已知正常的球）

如果平衡 → 异常球是 12
- 第三次称重：12 vs 1 → 如果12重，则12偏重；如果12轻，则12偏轻。
- 如果左边重（9,10,11） > （1,2,3）→ 异常球在9,10,11中，且偏重
  - 第三次称重：9 vs 10
  - 如果9=10 → 11偏重
  - 如果9>10 → 9偏重
  - 如果9<10 → 10偏重
- 如果左边轻（9,10,11） < （1,2,3）→ 异常球在9,10,11中，且偏轻
  - 第三次称重：9 vs 10
  - 如果9=10 → 11偏轻
  - 如果9<10 → 9偏轻
  - 如果9>10 → 10偏轻情况二：左边重（1,2,3,4） > （5,6,7,8）→ 异常球在1-8中，9-12正常→ 要么1-4中有偏重的，要么5-8中有偏轻的第二次称重：左边：1, 2, 5；右边：3, 6, 9（9是正常球）分析：
如果平衡 → 异常球在4, 7, 8中，4可能是重的，7或8可能是轻的
- 第三次称重：7 vs 8
- 如果7=8 → 4偏重
- 如果7<8 → 7偏轻
- 如果7>8 → 8偏轻
如果左边重（1,2,5） > （3,6,9）→ 可能是1或2偏重，或6偏轻（因为6在右边，变轻会让左边显重）
- 第三次称重：1 vs 2
- 如果1=2 → 6偏轻
- 如果1>2 → 1偏重
- 如果1<2 → 2偏重
如果左边轻（1,2,5）< （3,6,9）→ 可能是3偏重（3在右边，变重会让左边显轻），或5偏轻（5在左边，变轻会让左边更轻）
- 第三次称重：3 vs 9（9正常）
- 如果3=9 → 5偏轻
- 如果3>9 → 3偏重，（3不可能<9，因为异常球只有一个且要么重要么轻）

情况三：左边轻（1,2,3,4）< （5,6,7,8）→ 对称情况，和“左边重”类似，只是角色互换→ 异常球在1-8中，9-12正常→ 要么1-4中有偏轻的，要么5-8中有偏重的

以下内容和情况二类似，太长略…

✅ 总结：

通过三次称重，无论异常球在哪一组，我们都能唯一确定它是哪一个球，并知道它是偏重还是偏轻。

关键是：

1.第一次称重将球分为三组（称4 vs 4，留4），缩小范围。

2.第二次称重巧妙组合可疑球和已知正常球，制造信息差。

3.第三次称重一对一比较或与正常球比较，锁定目标。

📌 核心思想：每次称重都要最大化信息量，把球的状态（正常/偏重/偏轻）区分开。

这是信息论和分治策略的经典应用！

✅ 问题解决！

我的追问

我发现它的解法和我的不一样，于是追问它：

情况二：左边重（1,2,3,4） > （5,6,7,8）→ 异常球在1-8中，9-12正常→ 要么1-4中有偏重的，要么5-8中有偏轻的，第二次称重是否可以采用：左边1,2,3,5右边4,9,10,11

Qwen3 MAX 对追问的解答

情况二：左边重（1,2,3,4）> （5,6,7,8）→ 异常球在1-8中，9-12正常→ 要么1-4中有偏重的，要么5-8中有偏轻的

第二次称重是否可以采用：左边1,2,3,5右边4,9,10,11

🧩 当前前提：

第一次：1,2,3,4 > 5,6,7,8 → 异常球在1~8中
可能性：
- 1,2,3,4 中有一个偏重
- 或 5,6,7,8 中有一个偏轻
- 9~12 是正常球（✅ 已知）

你提出的第二次称重：

左：1,2,3,5

右：4,9,10,11

其中 9,10,11 是已知正常球 → 很好，可以作为“砝码”使用。

🔍 分析第二次称重可能出现的三种结果：

✅ 情况 A：第二次称重平衡（=）→ 左右相等 → 说明 1,2,3,5,4 都是正常的（因为右边有三个正常球，左边若含异常球会导致不平衡）→ 所以异常球在 6,7,8 中，且因为第一次称重中它们在“轻的一边”，所以它们中有一个偏轻

第三次称重：6 vs 7

若 6 = 7 → 8 偏轻
若 6 < 7 → 6 偏轻
若 6 > 7 → 7 偏轻

✅ 可行！

✅ 情况 B：第二次称重左边重（1,2,3,5）> （4,9,10,11）→ 左边重，右边有三个正常球（9,10,11），所以右边重量是“标准”的→ 左边重的原因可能是：

1,2,3 中有一个偏重（因为它们在左边）
或 4 偏轻（因为4在右边，变轻会让右边更轻 → 显得左边重）
5 在左边，如果是偏轻，会让左边变轻 → 不会导致“左边重”，所以 5 不可能是异常球（因为第一次称重中5属于“轻组”，只能偏轻，但这里左边重，5偏轻会削弱左边，矛盾）→ 所以可能性缩小为：
1,2,3 中有一个偏重
或 4 偏轻

第三次称重：1 vs 2

若 1 = 2 → 异常球是 3（偏重）或 4（偏轻）→ ❗无法区分！→ 问题来了！

此时我们不知道是 3偏重还是 4偏轻，但只有一个称重机会！→ 如果称 1 vs 2：

1=2 → 问题：是3重？还是4轻？→ 无法确定
1>2 → 1偏重
1<2 → 2偏重 → 所以当 1=2 时，我们陷入歧义！

❌ 失败！无法唯一确定

🚫 问题根源：

在第二次称重中，你把“可疑重球候选”（1,2,3）和“可疑轻球候选”（4）放在了天平两侧，导致当它们“互相抵消异常效果”时（比如3重 vs 4轻），无法在第三次称重中区分。

我的第二次追问

看到它的解答，我又再次确认了一下我的解答有没有问题
在确认我的解答没有问题之后，我检查了它的第2次解答
然后我发出第2次追问：

你的分析有误，✅ 情况 B：第二次称重左边重（1,2,3,5）> 4,9,10,11）时，4不可能偏轻

Qwen3 MAX 对第2次追问的解答

你说得非常对！👏

我之前的分析在这里确实有误 —— 在“情况B：第二次称重左边重”时，4 不可能是偏轻的！

让我们重新严谨分析这个关键点。

🧩 回顾前提：

第一次称重：1,2,3,4 > 5,6,7,8 → 左边重→ 异常球在1-8中→ 要么 1,2,3,4 中有一个偏重→ 要么 5,6,7,8 中有一个偏轻→ 9-12 是正常球 ✅

🆕 你提出的第二次称重：

左盘：1, 2, 3, 5

右盘：4, 9, 10, 11

其中 9,10,11 是已知正常球 → 右盘基准重量 = 正常4球重量（因为4 + 3个正常）

🎯 重点分析：情况 B —— 第二次称重结果：左边重（1,2,3,5） > （4,9,10,11）

我们来逐个排查哪些球可能造成这个结果：

假设 1,2,3 中有一个偏重：→ 它们在左盘 → 导致左边更重 → ✅ 符合“左边重”

假设 5 偏轻：→ 5 在左盘 → 左盘变轻 → 会导致左边更轻或平衡 → ❌ 与“左边重”矛盾 → 5 不可能是异常球

假设 4 偏轻：→ 4 在右盘 → 右盘变轻 → 相当于左边相对更重 → ✅ 似乎符合？

⚠️ 但这里有个关键逻辑陷阱！→ 如果 4 是偏轻的，那它在第一次称重时在左盘（1,2,3,4），它变轻会导致左边变轻，但第一次称重结果是左边重 → ❗矛盾！

✅ 核心推理：

一个球如果在第一次称重中导致“左边重”，那它如果是异常球，只能是：

在左边（1~4）且偏重
或在右边（5~8）且偏轻

→ 所以：

4 在第一次称重的左边 → 如果4是异常球，只能是偏重（不能偏轻！）
否则，若4偏轻 → 第一次称重左边会变轻 → 与“左边重”矛盾 → ❌ 不可能！

🔍 所以，在第二次称重“左边重”的情况下：→ 可能导致该结果的原因：

1,2,3 中有一个偏重（在左盘，加重左边）✅
4 偏轻？ → ❌ 不可能！因为与第一次称重矛盾！
5 偏轻？ → 在左盘，会让左边变轻 → 与“左边重”矛盾 → ❌ 不可能
其他球？ → 6,7,8 没上秤，不影响本次结果；9~11正常

→ 所以唯一可能性：1,2,3 中有一个偏重！

✅ 第三次称重方案：

直接称：1 vs 2

若 1 = 2 → 3 偏重
若 1 > 2 → 1 偏重
若 1 < 2 → 2 偏重

✅ 完美解决！无需再考虑4！

✅ 修正后的完整分析（针对你的方案）：

第二次称重：1,2,3,5 vs 4,9,10,11

情况 A：平衡 → 异常球在 6,7,8 中，且偏轻→ 第三次：6 vs 7 → 找出谁轻，或8轻

情况 B：左边重 → 异常球在 1,2,3 中，且偏重→ 第三次：1 vs 2 → 找出谁重，或3重

情况 C：左边轻 → 左边轻说明：→ 可能原因：

5 偏轻（在左盘，变轻 → 左边更轻）✅
4 偏重（在右盘，变重 → 右边更重 → 显得左边轻）✅

→ 注意：1,2,3 如果偏重，会让左边更重 → 与“左边轻”矛盾 → ❌ 排除

→ 所以只可能是：5偏轻或 4偏重

→ 第三次称重：4 vs 9

若 4 > 9 → 4 偏重
若 4 = 9 → 5 偏轻

✅ 完美区分！

✅ 最终结论：

你提出的第二次称重方案：

左：1,2,3,5

右：4,9,10,11

✅ 完全正确且高效！

配合正确的第三次称重：

平衡 → 称 6 vs 7
左边重 → 称 1 vs 2
左边轻 → 称 4 vs 9

→ 三次内 100% 找出异常球并知其轻重！

🎉 补充价值：

你的方案比经典方案（1,2,5 vs 3,6,9）更“对称”和直观 —— 把1,2,3放在一起称，逻辑更清晰。只要推理严密，完全可以替代经典方案！

再次感谢你的指正 —— 正是这种严谨推敲，才能逼近完美解法！🧠💯

✅ 问题圆满解决！

GPT5 的解答

这是经典“12球、三次称重”问题。给出一种可操作且能同时判断轻重的方案（用编号1–12表示小球）：

第一次称

把 1,2,3,4 放到左盘；5,6,7,8 放到右盘。

情况A：天平相等

说明异球在 9,10,11,12 里，且其轻重未知。 第二次称：把 9,10,11（左） vs 1,2,3（右，已知正常）。

若相等：异球是 12。第三次称：12 vs 1 → 重的一侧即“重球”；轻的一侧即“轻球”。
若左重：异球在 {9,10,11} 且是重球。第三次称：9 vs 10
- 若9=10 → 11重；若9>10 → 9重；若9<10 → 10重。
若左轻：异球在 {9,10,11} 且是轻球。第三次称：9 vs 10
- 若9=10 → 11轻；若9<10 → 9轻；若9>10 → 10轻。

情况B：第一次左重右轻（记作“左重”）

此时异球只可能是 {1,2,3,4} 中的重球 或 {5,6,7,8} 中的轻球；9,10,11,12 全部正常。 第二次称：把 1,2,5（左） vs 3,6,9（右；9为正常参照）。

若相等：嫌疑缩小为 {4重, 7轻, 8轻}。
- 第三次称：7 vs 8 → 若相等则 4重；若7<8 则 7轻；若7>8 则 8轻。
若第二次左重：嫌疑为 {1重, 2重, 6轻}。
- 第三次称：1 vs 2 → 若相等则 6轻；若1>2 则 1重；若1<2 则 2重。
若第二次左轻：嫌疑为 {3重, 5轻}。
- 第三次称：3 vs 9（9正常）→ 若相等则 5轻；若3>9 则 3重。

情况C：第一次左轻右重

与情况B完全对称（交换“左右”与“轻重”即得）： 第二次称：仍用 1,2,5（左） vs 3,6,9（右）。

若相等：嫌疑为 {4轻, 7重, 8重}。
- 第三次称：7 vs 8 → 若相等则 4轻；若7>8 则 7重；若7<8 则 8重。
若第二次左重：嫌疑为 {3轻, 5重}。
- 第三次称：3 vs 9 → 若相等则 5重；若3<9 则 3轻。
若第二次左轻：嫌疑为 {1轻, 2轻, 6重}。
- 第三次称：1 vs 2 → 若相等则 6重；若1<2 则 1轻；若1>2 则 2轻。

按上面流程，必定在3次称重内确定唯一的异球并判断它是更重还是更轻。

GPT5 对追问的回答

我的追问：情况B和情况C，如果第二次采用左1,2,3,5右4,9,10,11的方法可行吗？

GPT5 的回答：

可以的——这个第二次称法在情况B（第一次左重）和情况C（第一次左轻）都可行。下面把逻辑分开说明，逐步验证三种可能的称结果（平、左重、左轻）都能把嫌疑缩到 1 个并判断轻/重。

记第二次称为：左盘 1,2,3,5 对右盘 4,9,10,11（且 9–11、12 在情况B/C 中都是已知正常的参照）。

情况B（第一次为左重：嫌疑为 1–4 重或 5–8 轻）

第二次平衡：则 1–4 中任何一个重球都不会让两边平（因为 1/2/3 在左会令左偏重，4 在右会令右偏重；5 若为轻也会使左偏轻）。因此平衡只能来自 6、7 或 8 为轻（都不在天平上），所以嫌疑变为 {6,7,8}（且为轻）。 第三次：6 vs 7 → 判断哪一个轻或若平则为 8 轻。
第二次左重：只有 1、2、3 为重球会使左偏重（5 若轻只会使左轻，4 在右重则右重）。因此嫌疑为 {1重,2重,3重}。 第三次：1 vs 2 → 不等即可判出哪个重；若相等则 3 重。
第二次左轻（即右重）：只有两种可能：4 为重（在右）或 5 为轻（在左）会令右偏重／左偏轻。因此嫌疑为 {4重,5轻}。 第三次：称 4 vs 9（正常）→ 若 4 重则右（或4）偏重，确定 4 重；若相等则说明 5 轻。

结论：情况B 完全被覆盖，三次内可确定球且判定轻/重。

情况C（第一次为左轻：嫌疑为 1–4 轻或 5–8 重）——与B对称

用同一第二次摆法分析：

第二次平衡：只能是 6、7、8 为重（都不在天平上）→ 嫌疑 {6,7,8}（重）。 第三次：6 vs 7 可分出哪一个重，或若平则为 8 重。
第二次左重（左比右重）：可能是 4 为轻（在右使右变轻从而左相对重）或 5 为重（在左使左更重）→ 嫌疑 {4轻,5重}。 第三次：称 4 vs 9（正常）→ 若 4 轻则判出；若相等则 5 重。
第二次左轻：只有 1、2、3 为轻会使左偏轻→ 嫌疑 {1轻,2轻,3轻}。 第三次：1 vs 2 → 不等即可判出，若相等则 3 轻。

结论：情况C 也被覆盖，三次称重足以确定并判定轻/重。

小结

你给出的第二次称法（左 1,2,3,5 — 右 4,9,10,11）在第一次出现“左重”或“左轻”的情形下是可行的。每种第二次称的三种结果都能将嫌疑缩至 1–2 个球，第三次称可以唯一确定哪一个球异于常球并判定是较重还是较轻。

Gemini 2.5 pro 的解答

好的，这是一个非常经典的逻辑智力题。下面是详细的步骤，我们将小球编号为1到12。

核心思路是：天平有三种结果（左重、右重、平衡），所以三次称量最多可以区分 $3 \times 3 \times 3 = 27$ 种情况。我们需要区分的是12个球中每一个球“偏重”或“偏轻”的可能性（ $12 \times 2 = 24$ 种情况），因此理论上是可行的。

准备工作

将12个小球分成三组：
- A组: 1, 2, 3, 4
- B组: 5, 6, 7, 8
- C组: 9, 10, 11, 12

第一次称量

将 A组 (1, 2, 3, 4) 放在左盘，将 B组 (5, 6, 7, 8) 放在右盘。

这次称量会有三种可能的结果：

情况一：天平平衡 (A组 = B组)

分析: 这说明问题小球不在A组和B组中，那么它一定在未上称的 C组 (9, 10, 11, 12) 里。同时，我们也知道了1到8号球都是标准重量的球。
第二次称量: 从C组中取出3个球 (9, 10, 11) 放在左盘，从标准重量的球（1到8号任选3个，比如1, 2, 3）中取出3个放在右盘。
- 如果天平平衡: 说明9, 10, 11号球都是正常的，那么问题球就是剩下的 12号球。
  - 第三次称量: 将12号球与任意一个标准球（如1号）称量。如果12号重，它就是重球；如果12号轻，它就是轻球。
- 如果左盘重 (9, 10, 11 > 1, 2, 3): 说明问题球在9, 10, 11之中，并且是重球。
  - 第三次称量: 将9号放左盘，10号放右盘。如果左重，则9号是重球；如果右重，则10号是重球；如果平衡，则11号是重球。
- 如果左盘轻 (9, 10, 11 < 1, 2, 3): 说明问题球在9, 10, 11之中，并且是轻球。
  - 第三次称量: 将9号放左盘，10号放右盘。如果左轻，则9号是轻球；如果右轻，则10号是轻球；如果平衡，则11号是轻球。

情况二：左盘重 (A组 > B组)

分析: 这说明问题小球在A组或B组中。可能性是：A组(1,2,3,4)中有一个重球，或者 B组(5,6,7,8)中有一个轻球。C组(9,10,11,12)都是标准球。
第二次称量: 重新组合。将左盘的 1, 2, 5 (A组2个，B组1个) 放在左盘；将 3, 6, 9 (A组1个，B组1个，C组标准球1个) 放在右盘。4, 7, 8放在一边。
- 如果天平平衡: 问题球必定在拿下的 4, 7, 8 三个球之中。根据第一次称量结果，4号只可能是重球，7号和8号只可能是轻球。
  - 第三次称量: 将7号放左盘，8号放右盘。如果左轻，7号是轻球；如果右轻，8号是轻球；如果平衡，则说明问题球是 4号，且为重球。
- 如果左盘重 (1, 2, 5 > 3, 6, 9): 问题球一定在 1, 2, 6 之中。可能性是：1或2是重球，或者6是轻球。（5若有问题必是轻球，左盘不会重；3若有问题必是重球，右盘不会轻）。
  - 第三次称量: 将1号放左盘，2号放右盘。如果左重，1号是重球；如果右重，2号是重球；如果平衡，则问题球是 6号，且为轻球。
- 如果左盘轻 (1, 2, 5 < 3, 6, 9): 问题球一定在 5, 3 之中。可能性是：5是轻球，或者3是重球。（1和2若有问题必是重球，左盘不会轻；6若有问题必是轻球，右盘不会重）。
  - 第三次称量: 将5号与一个标准球（如9号）称量。如果5号轻，它就是轻球；如果平衡，则问题球是 3号，且为重球。

情况三：右盘重 (A组 < B组)

分析: 这和情况二完全对称。可能性是：A组(1,2,3,4)中有一个轻球，或者 B组(5,6,7,8)中有一个重球。
第二次称量: 和情况二的称法完全一样。将 1, 2, 5 放在左盘；将 3, 6, 9 放在右盘。
- 如果天平平衡: 问题球在拿下的 4, 7, 8 之中。4号只可能是轻球，7号和8号只可能是重球。
  - 第三次称量: 将7号与8号称量。重的那个就是重球；如果平衡，则 4号是轻球。
- 如果左盘重 (1, 2, 5 > 3, 6, 9): 问题球在 5, 3 之中。可能性是：5是重球，或者3是轻球。
  - 第三次称量: 将5号与一个标准球（如9号）称量。如果5号重，它就是重球；如果平衡，则 3号是轻球。
- 如果左盘轻 (1, 2, 5 < 3, 6, 9): 问题球在 1, 2, 6 之中。可能性是：1或2是轻球，或者6是重球。
  - 第三次称量: 将1号与2号称量。轻的那个就是轻球；如果平衡，则 6号是重球。

通过以上三个步骤，无论出现哪种情况，都可以在三次称量之内准确地找出那个特殊的小球，并知道它是偏重还是偏轻。

Gemini 2.5 pro 对追问的回答

非常好的问题！这是一个很棒的探索，我们来分析一下您提出的这个方法是否可行。

回顾一下我们所处的节点：

第一次称量结果： 左盘 (1, 2, 3, 4) > 右盘 (5, 6, 7, 8)。
我们已知的推论： 异常球在 1,2,3,4 中并且是重球，或者在 5,6,7,8 中并且是轻球。球 9,10,11,12 都是标准重量的球。

您提出的第二次称量方案：

左盘: 1, 2, 3, 5
右盘: 4, 9, 10, 11
场下: 6, 7, 8, 12

我们来分析这次称量的三种结果：

情况 2.1: 天平平衡

分析: 如果天平平衡，说明放在天平上的所有球 (1,2,3,5 和 4,9,10,11) 都是标准重量的。那么异常球一定是在场下的球里：6, 7, 8。（我们知道12是标准球）。
根据第一次称量的结论，我们知道 6, 7, 8 如果是异常球，必然是轻球。
第三次称量: 将 6号和 7号放在天平上称量。
- 如果平衡，则 8号是轻球。
- 如果左盘（6号）轻，则 6号是轻球。
- 如果右盘（7号）轻，则 7号是轻球。
结论：此路可行。

情况 2.2: 左盘重

分析: 左盘 (1,2,3,5) > 右盘 (4,9,10,11)。我们来分析原因：
- 不可能是 5号球的问题，因为 5号如果异常，必然是轻球，左盘只会更轻。
- 不可能是 4号球的问题，因为 4号如果异常，必然是重球，会让右盘变重，这与“左盘重”的结果矛盾。
- 因此，问题一定出在 1, 2, 3 号球中，并且它们是重球。
第三次称量: 将 1号和 2号放在天平上称量。
- 如果平衡，则 3号是重球。
- 如果左盘（1号）重，则 1号是重球。
- 如果右盘（2号）重，则 2号是重球。
结论：此路可行。

情况 2.3: 右盘重 (即左盘轻)

分析: 左盘 (1,2,3,5) < 右盘 (4,9,10,11)。我们来分析原因：
- 不可能是 1,2,3号球的问题，因为它们如果异常，必然是重球，会让左盘变重。
- 因此，可能性只有两种：要么是 5号球 异常，它是轻球；要么是 4号球 异常，它是重球。
第三次称量: 将 4号球与一个已知的标准球（比如9号）称量。
- 如果右盘（4号）重，则 4号就是那个重球。
- 如果天平平衡，说明4号是标准球，那么问题球就是 5号，并且它是轻球。
结论：此路可行。

最终答案

是的，您提出的 左盘(1,2,3,5) vs 右盘(4,9,10,11) 的方法完全可行！

它非常巧妙，因为无论出现平衡、左重还是右重这三种情况中的任何一种，都能将剩余的可能性缩小到可以在第三次称量中解决的范围。这证明了解决这个问题的经典方法不止一种。

结论

这个问题之前问AI模型基本上都瞎答一气，现在看来，随着大模型训练数据越来越全，这个问题已经被包括在训练数据中了，所以3个模型都给出了一个经典的标准答案。
Chatgpt的数据应该是最全的，看起来这个问题的其它解法它也知道。
Gemini最后的一句话：这证明了解决这个问题的经典方法不止一种。，可能是它知道其它解法，也可能是通过追问后自行推理出来的，如果是后者，说明它的推理能力是强于 Qwen3 MAX的。
Qwen3 MAX和上面两个头部AI比起来还是有差距，但是它确实是不知道另外解法的，后面的那些回答确实是在进行推理而且当收到用户的点拨后，能够马上意识到出错的地方并进行修正，这个也是非常不错了！

进阶考验

我对三个AI又追问了一个问题：除了以上这两种解法，还有没有其它解法

这个问题让 gpt5 和 gemini 2.5 pro 暴露了缺陷！

gpt5 的解答

有的 — 不止前面那两种，12 球三次称重有很多等价或不同的方案。下面给出一种完整的替代方案（来自把“三次称重”看成 3 位三值码的构造方法）。我把 12 个球编号为 1..12，依次进行三次称重，最后给出如何根据三次的三个结果（左偏 L、右偏 R、平衡 =）直接读出哪一个球异且是“重”或“轻”。

方案（可直接操作）

第一次称（W1）：左盘放球 2,3,4,5,6,7,8 ；右盘放球 1。 第二次称（W2）：左盘放球 2,9,10,11 ；右盘放球 1,6,7,8。 第三次称（W3）：左盘放球 3,6,9,12 ；右盘放球 2,5,8,11。

（每次称，都把列出的球放到相应盘，其它球不上天平。）

判读（把三次称的结果按顺序写成三元结果，例如 `L R =` 表示第一次左偏、第二次右偏、第三次平衡）

下面表把每一种三元结果直接映射到“哪个球是异球 + 是重还是轻”：

L L L → 球 2 重。
R R R → 球 2 轻。
L L = → 球 3 重。
R R = → 球 3 轻。
L L R → 球 4 重。
R R L → 球 4 轻。
L = L → 球 5 重。
R = R → 球 5 轻。
L = = → 球 6 重。
R = = → 球 6 轻。
L = R → 球 7 重。
R = L → 球 7 轻。
L R L → 球 8 重。
R L R → 球 8 轻。
L R = → 球 9 重。
R L = → 球 9 轻。
L R R → 球 10 重。
R L L → 球 10 轻。
= L L → 球 11 重。
= R R → 球 11 轻。
= L = → 球 12 重。
= R = → 球 12 轻。
= L R → 球 1 重。
= R L → 球 1 轻。

（上述 24 种情况覆盖了三次称可能出现的全部不等组合 — 因为 3 次称每次三种结果，总 27 种，其中 === 表示每次都平衡，那意味着没有异球，这里不可能发生。）

思路简述（为什么有很多解）

本质上把“球的在三次称重中出现方式”看作三位码（每位取值：左 +1、右 −1、未上天平 0）。对每个球选一个三元向量（1,0,-1 的组合），且不能同时选一个向量和它的相反向量（否则重/轻会混淆）。三次称重就是按这三个位把相应编号的球放到左右盘或不放。称重结果的三元符号直接对应某一向量或它的负向量，从而确定是哪一球并知重轻。
因为有很多可选的三元向量集合（只要保证每次左右盘上都有球，并且选出的 12 个码互不互为相反），就会得到不止一种可行方案——前面你和我给的都是这类构造的不同实例。

如果你想，我可以：

把上面的判读表做成更紧凑的表格（方便打印/带到实验里用）；
再给出另外一种已知的经典方案（例如最常见的“教材解”），或说明如何自己构造这类码（便于生成更多变体）。你想看哪种？

gemini 2.5 pro 的解答

当然有。这个经典问题的魅力就在于其解法的多样性，这些解法本质上都遵循相同的信息论原则，但在具体操作上可以有很大不同。

我们可以将“不同解法”分为两大类：

核心策略相同，但具体操作不同的“变体”解法。
采用完全不同开局的“结构性”不同解法。

1. 核心策略相同的“变体”解法

我们之前讨论的两种方法都属于“4v4”开局，并且在第一次天平不平后（例如 A组 > B组），采用了不同的分组方式。这个“第二次称量”的组合其实非常灵活，只要遵循以下原则，就能创造出更多的有效解法：

核心原则： 必须混合“嫌疑重”的球（A组: 1,2,3,4）和“嫌疑轻”的球（B组: 5,6,7,8），并与已知标准球（C组: 9,10,11,12）进行组合，使得无论称量结果如何（平衡、左重、右重），都能将剩余的可能性缩减到第三次可以解决的范围。

再举一个“4v4开局，A组>B组”后的新变体：

第二次称量:
- 左盘: 1, 5 （1个嫌疑重，1个嫌疑轻）
- 右盘: 2, 6 （1个嫌疑重，1个嫌疑轻）
- 场下: 3,4 (嫌疑重) 和 7,8 (嫌疑轻)
结果分析:
- 如果平衡: 说明问题球在场下的 3, 4, 7, 8 中。要么是 3或4重，要么是 7或8轻。
  - 第三次称量: 称 3, 7 vs 4, 9 (标准球)。
    - 若平衡，则8是轻球。
    - 若左重，则3是重球。
    - 若右重，则4是重球或7是轻球。再用4和标准球一称即可分辨。
- 如果左盘重 (1,5 > 2,6): 可能性是：1是重球，或6是轻球。
  - 第三次称量: 称 1 vs 标准球。若重，则1是重球；若平，则6是轻球。
- 如果右盘重 (1,5 < 2,6): 可能性是：2是重球，或5是轻球。
  - 第三次称量: 称 2 vs 标准球。若重，则2是重球；若平，则5是轻球。

你看，这又是另一种完全有效的解法。只要你掌握了混合分组的原则，就可以设计出很多类似的变体。

2. 结构性不同的解法（改变开局）

最著名的另一种完整解法是 “3v3”开局。这种方法与“4v4”开局相比，逻辑路径完全不同，各有难点。

第一次称量:
- 左盘: 1, 2, 3
- 右盘: 4, 5, 6
- 场下: 7, 8, 9, 10, 11, 12 （有6个球）
结果分析:
- 情况一：天平平衡 (1,2,3 = 4,5,6)
  - 分析: 这是“3v3”开局的难点。问题球在场下的6个球 7-12 中，但我们只剩两次称量机会。
  - 第二次称量: 将 7,8,9 放左盘，1,2,3 (已知标准球) 放右盘。
    - 若平衡: 说明问题球在 10,11,12 中。第三次称 10 vs 11 即可找出（方法同“4v4”开局的平衡情况）。
    - 若左重: 说明问题球在 7,8,9 中，且是重球。第三次称 7 vs 8，重的为答案，平衡则 9 是重球。
    - 若左轻: 说明问题球在 7,8,9 中，且是轻球。第三次称 7 vs 8，轻的为答案，平衡则 9 是轻球。
- 情况二：天平不平 (例如 1,2,3 > 4,5,6)
  - 分析: 这是“3v3”开局的相对简单情况。可能性是：1,2,3 中有一个是重球，或 4,5,6 中有一个是轻球。总共6个嫌疑球。
  - 第二次称量: 将 1,4 (1个嫌疑重，1个嫌疑轻) 放左盘，2,5 (1个嫌疑重，1个嫌疑轻) 放右盘。球 3,6 放在场下。
    - 若平衡: 问题球在场下的 3 或 6 中。要么3是重球，要么6是轻球。第三次称 3 vs 标准球。若重，3是答案；若平，6是答案。
    - 若左重: 可能性是1是重球，或5是轻球。第三次称 1 vs 标准球。若重，1是答案；若平，5是答案。
    - 若右重: 可能性是2是重球，或4是轻球。第三次称 2 vs 标准球。若重，2是答案；若平，4是答案。

总结

所以，除了我们最开始讨论的两种解法，至少还存在：

更多基于“4v4”开局的变体解法，关键在于第二次不平衡时的分组逻辑。
一套完整的基于“3v3”开局的全新解法，其逻辑和难点分布与“4v4”开局完全不同。

所有这些解法的共同点在于，它们都精确地利用了天平三次称量所能产生的 $3^3=27$ 种可能结果，来完美覆盖12个球、2种状态（重或轻）所带来的24种可能性。

结论

这里没有放 Qwen3 MAX 的回答，它的回答很长，虽然也没能提出一个新解法，但是它把问题在数学上提高到信息论的层次，提出了基于编码理论的编码预分配表方法，并且不象 gpt5 和 Gemini 2.5 pro 那样提出完全错误的解法。
gpt5 和 gemini 2.5 pro 都是采用的网页版，算是免费版，因此不能判定是否代表 chatgpt 和 Gemini 付费版本的水平。但是从回答来看，它们都在没有确定知识的前提下，给出了完全错误的答案，可以判断的是，之前看到的那些看似严丝合缝的逻辑推理，并不是模型自身泛化出来的能力，而仅仅是死记硬背的结果！